Free Essay

Linear

In: Business and Management

Submitted By basakocakusak
Words 5430
Pages 22
Vektör Uzayları
Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN

ÜNİTE

4

Amaçlar
Bu üniteyi çalıştıktan sonra; • Matematik ve mühendislikte birçok uygulamaları olan cebirsel yapılardan vektör uzayı ve alt uzay kavramlarını tanıyacak, • Bir vektör uzayının yapısını ve özelliklerini öğrenecek, • Çeşitli vektör uzayı örnekleri görecek, • Bir kümenin gerdiği (oluşturduğu) alt uzay kavramını anlayacak, • Bir uzayı geren vektörlerin nasıl bulunduğunu öğreneceksiniz.

İçindekiler
• Giriş • Vektör Uzayları • Alt Uzaylar • Bir Kümenin Gerdiği (Ürettiği) Alt Uzay • Değerlendirme Soruları 89 89 97 100 107

Çalışma Önerileri
• Bu üniteyi çalışırken temel kavram ve tanımları iyice kavrayıp konu ile ilgili çözülmüş örnekleri inceleyiniz. • Okuyucuya bırakılan soruları çözünüz.

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

VEKTÖR UZAYLARI

89

1. Giriş
Bu ünitede, uygulamalı matematiğin ve mühendislik matematiğinin önemli konularından biri olan vektör uzayları konusunu inceliyeceğiz.

2. Vektör Uzayları
V boş olmayan, üzerinde vektörel toplama diyeceğimiz bir toplama ve skalerle (gerçel sayılarla) çarpım tanımlanmış bir küme olsun. Simgesel olarak, vektörel toplama ve skalerle çarpım işlemleri, x, y ∈V için x + y ∈V r ∈ R , x ∈ V için r x ∈V biçiminde tanımlı olsun; yani, V kümesi vektörel toplama ve skalerle çarpma işlemlerine göre kapalı olsun. Eğer aşağıdaki koşullar sağlanıyorsa V kümesine R (gerçel sayılar kümesi) üzerinde bir vektör uzayı denir. V1. V2. Her x, y ∈ V için x+y = y+x olmalıdır. (Toplamanın değişme özelliği) (Toplamanın birleş-

Her x, y, z ∈ V için (x+y) +z = x + (y+z) olmalıdır. me özelliği)

V3.

Her x ∈ V için x + 0 = 0 + x = x olacak şekilde bir 0 ∈ V bulunmalıdır. (Toplama işlemine göre etkisiz öğe) Her x ∈ V için x+y = y+x = 0 olacak şekilde bir y ∈V bulunmalıdır. (Toplama işlemine göre ters öğe) Her x, y ∈V ve her c ∈R için c(x+y) = cx + cy olmalıdır. manın toplama üzerine dağılımı) Her x ∈V ve c1, c2 ∈ R için (c1 + c2) x = c1x + c2x Her x ∈V ve c1, c2 ∈ R için (c1c2 ) x = c1 (c2x) Her x ∈V için 1.x = x olmalıdır. (skaler ile çarp-

V4.

V5.

V6. V7. V8.

olmalıdır.

olmalıdır.

V, R üzerinde bir vektör uzayı ise V nin öğelerine vektörler R nin öğelerine de skalerler denir. Bu durumda V ye de bir gerçel vektör uzayı denir. Eğer skalerler R ile gösterdiğimiz gerçel sayılar kümesi yerine C ile gösterdiğimiz kompleks sayılar kümesinden alınırsa, V ye kompleks vektör uzayı denir. Bundan böyle aksi belirtilmedikçe vektör uzaylarımızı gerçel vektör uzayı olarak ele alacağız.

AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ

90

VEKTÖR UZAYLARI

2.1. Önerme
V bir vektör uzayı olsun. V de vektörel toplama işleminin etkisiz öğesi tektir. Kanıt V vektör uzayının 0 ve 0' gibi iki etkisiz öğesi olsun. 0 bir etkisiz öğe olduğundan ∀ x ∈V için x+0= 0+x= x olur, burada özel olarak x= 0' alınırsa 0' + 0= 0 + 0'= 0' (1)

bulunur. Aynı şekilde 0' bir etkisiz öğe olduğundan ∀ x ∈V için x+0'= 0'+x= x ve özel olarak x= 0 alınırsa 0+0'= 0'+0= 0 (2) bulunur. (1) ve (2) eşitlikleri karşılaştırılırsa 0= 0' elde edilir. Böylece etkisiz öğenin tek olduğu gösterilmiş olur. Bundan böyle toplama işlemine göre etkisiz öğeye sıfır vektör diyeceğiz. Açıktır ki, 0x= 0 dır. Çünkü 0.x= (0+0)x= 0.x + 0.x dır. Benzer olarak, r ∈ R ve 0 ∈V için r.0= 0 dır.

2.2. Önerme
V vektör uzayında her x vektörünün tersi tektir. Kanıt V vektör uzayının herhangi bir x vektörünün y1 ve y2 gibi iki tane tersi olsun. Bu durumda x + y1 = y1 + x = 0 ve x + y2 = y2 + x = 0 eşitlikleri sağlanır. y1 = y1 + 0 = y1 + (x + y2) = (y1 + x) + y2 = 0 + y2 = y2 elde edilir. x vektörünün tersi tek olduğundan bu ters vektör (-x) ile gösterilir. Yani x + (-x) = (-x) + x = 0 dır. Kolayca görülür ki (-1).x = -x dır. Çünkü 0 = 0. x = (-1 + 1) x = (-1)x + 1.x = (-1) x + x dir. Ayrıca x + (-y) yerine x-y yazacağız ve x-y ye x ile y nin fark vektörü diyeceğiz. Şimdi vektör uzaylarına örnekler verelim:
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

VEKTÖR UZAYLARI

91

2.3. Örnek
R gerçel sayılar kümesi, bilinen toplama ve çarpma işlemleri altında bir gerçel vektör uzayıdır. Çünkü R nin öğeleri olan gerçel sayılar bilinen toplama ve çarpma işlemleriyle vektör uzayı için vermiş olduğumuz koşulları sağlarlar. Sizde bu koşulların sağlandığını tek tek inceleyiniz.

2.4. Örnek
V= { (x, y) | y= 3x, x∈ R } kümesinin aşağıda verilen işlemlere göre bir vektör uzayı olup olmadığını gösteriniz. Her A, B ∈V, A = (x1 , 3x1) , B = (y1 , 3y1) için A + B = (x1 , 3x1) + (y1 , 3y1) = (x1 + y1 , 3x1 + 3y1) = (x1 + y1 , 3 (x1 + y1)) ∈ V c ∈ R için cA = c (x1 , 3x1) = (cx1 , 3cx1) ∈ V Çözüm V kümesinin öğelerinin vektör uzayı koşullarını sağladığını göstermeliyiz. V1. Her A, B ∈V, A= (x1 , 3x1) , B= (y1 , 3y1) için A+B = (x1 , 3x1) + (y1 , 3y1)= (x1 + y1 , 3x1 + 3y1) = (y1 + x1 , 3y1 + 3x1) = (y1 , 3y1) + (x1 , 3x1) = B+A olduğundan toplamanın değişme özelliği sağlanır. V2. A, B, C ∈V , A = (x1 , 3x1) , B = (y1 , 3y1) , C = (z1 , 3z1) için A+ (B+C) = (x1 , 3x1) + ((y1 , 3y1) + (z1 , 3z1)) = (x1 + (y1 + z1) , 3x1 + (3y1 + 3z1)) = ((x1 + y1) + z1 , (3x1 + 3y1) + 3z1) = (x1 + y1 , 3x1 + 3y1) + (z1 , 3z1) = (A+B) + C olduğundan toplamanın birleşme özelliği sağlanır. V3. Her A ∈V, A= (x1 , 3x1) ve 0= (0, 0) için A+0 = (x1 , 3x1) + (0, 0)= (x1 + 0, 3x1 + 0) = (x1 , 3x1) = A 0 + A = (0, 0) + (x1 , 3x1) = (0 + x1 , 0 + 3x1) = (x1 , 3x1) = A olduğundan 0 = (0, 0) vektörü toplama işleminin etkisiz öğesidir.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ

92

VEKTÖR UZAYLARI

V4.

Her A ∈V, A = (x1 , 3x1) ve -A = (-x1 , -3x1) için (x1 , 3x1) + (-x1 ,-3x1) = (x1 - x1 , 3x1 - 3x1) = (0, 0) (-x1 , -3x1) + (x1 , 3x1) = (-x1 + x1 , -3x1 + 3x1) = (0, 0) olduğundan A = (x1 , 3x1) vektörünün toplama işlemine göre tersi -A = (-x1 , -3x1) vektörüdür.

V5.

Her A, B ∈ V

A = (x1 , 3x1) , B = (y1 , 3y1) , c ∈ R için

c (A+B) = c [(x1, 3x1) + (y1 , 3y1)] = c (x1 + y1 , 3x1 + 3y1) = (c (x1 + y1) , c (3x1 + 3y1)) = (cx1 + cy1 , 3cx1 + 3cy1) = (cx1 , 3cx1) + (cy1 , 3cy1) = c (x1 , 3x1) + c (y1 , 3y1) = c A + c B olur. V6. Her A ∈V, her c1 , c2 R için (c1 + c2) A = (c1 + c2) (x1 , 3x1) = [(c1 + c2) x1 , (c1 + c2) 3x1] = (c1 x1 + c2 x1 , 3c1 x1 + 3c2 x1) = (c1 x1 , 3c1 x1) + (c2 x1 , 3c2 x1) = c1 (x1 , 3x1) + c2 (x1 , 3x1) = c1 A + c2 A olur. V7. Her A ∈ V, A= (x1 , 3x1), her c1 , c2 ∈ R için (c1 c2) A = c1 c2 (x1 , 3x1) = (c1 c2 x1 , 3c1 c2 x1) = [c1 (c2 x1) , c1 (3c2 x1)] = c1 (c2 x1 , 3c2 x1) = c1 (c2 (x1 , 3x1)) = c1 (c2 A) olur. V8. Her A ∈V, A = (x1 , 3x1), 1∈ R için 1. A= 1. (x1 , 3x1) = (1.x1 , 3.1 x1) = (x1 , 3x1) = A olur. Böylece V kümesi R üzerinde bir vektör uzayıdır.

2.5. Örnek
R2 kümesinde vektörel toplama ve skalerle çarpma işlemleri sırasıyla A = (x1 , x2), B= (y1 , y2) ∈ R2 , c ∈ R için A+B = (x1 , x2) + (y1 , y2) = (x1 + y1 , x2 + y2) c A = c (x1 , x2) = (cx1 , cx2)
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

VEKTÖR UZAYLARI

93

biçiminde verildiğine göre, R2 kümesinin R kümesi üzerinde bir vektör uzayı olduğunu gösterelim: Bunun için R2 nin öğelerinin, vektör uzayı koşullarını sağladığını göstermeliyiz. V1. Her A, B ∈R2 , A = (x1 , x2) B = (y1 , y2) için A+B = (x1 , x2) + (y1 , y2) = (x1 + y1 , x2 + y2) = (y1 + x1 , y2 + x2) = (y1 , y2) + (x1 , x2) = B+A olduğundan toplamanın değişme özelliği sağlanır. V2. Her A, B, C ∈R2 , A = (x1 , x2), B = (y1 , y2), C = (z1 , z2) için A+ (B+C) = (x1 , x2) + [(y1 , y2) + (z1 , z2)] = (x1 , x2) + (y1 + z1 , y2 + z2) = [x1 + (y1 + z1), x2 + (y2 + z2)] = [(x1 + y1) + z1 , (x2 + y2) + z2 ] = (x1 + y1 , x2 + y2) + (z1 , z2) = (A+B) + C olduğundan toplamanın birleşme özelliği sağlanır. V3. Her A= (x1 , x2) ∈ R2 ve 0= (0, 0) için A+0 = (x1 , x2) + (0, 0) = (x1 + 0, x2 + 0) = (x1 , x2) = A 0+A = (0, 0) + (x1 , x2) = (0 + x1 , 0 + x2) = (x1 , x2) = A olduğundan 0= (0, 0) vektörü toplama işleminin etkisiz öğesidir. V4. Her A = (x1 , x2) ∈ R2 ve -A= (-x1 , -x2) için (x1 , x2) + (-x1 , -x2) = (x1 - x1 , x2 - x2) = (0, 0) (-x1 , -x2) + (x1 , x2) = (-x1 + x1 , -x2 + x2) = (0, 0) olduğundan A = (x1 , x2 ) vektörünün toplama işlemine göre tersi -A = (-x1 , -x2) vektörüdür. V5. Her A = (x1 , x2), B = (y1 , y2) ∈ R2, her c ∈ R için c (A+B) = c [(x1 , x2) + (y1 , y2)] = c (x1 + y1 , x2 + y2) = [c (x1 + y1) , c (x2 + y2)] = (cx1 + cy1 , cx2 + cy2) = (cx1 , cx2) + (cy1 , cy2) = c (x1 , x2) + c (y1 , y2) = c A + c B olur.

AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ

94

VEKTÖR UZAYLARI

V6.

Her A= (x1 , x2) ∈ R2, her c1 , c2 ∈ R için (c1 + c2)A= (c1 + c2) (x1 , x2) = [(c1 + c2) x1 , (c1 + c2) x2] = (c1 x1 + c2 x1 , c1 x2 + c2 x2 ) = (c1 x1 , c1 x2) + (c2 x1 , c2 x2) = c1 (x1 , x2) + c2 (x1 , x2) = c1 A + c2 A olur.

V7.

Her A = (x1 , x2) ∈ R2, her c1 , c2 ∈ R için (c1 c2) A = (c1 c2) (x1 , x2) = (c1 c2 x1 , c1 c2 x2) = [c1 (c2 x1), c1 (c2 x2)] = c1 (c2 x1 , c2 x2 ) = c1 [c2 (x1 , x2)] = c1 (c2 A)

V8.

Her A = (x1 , x2) ∈ R2, 1 ∈ R için 1. A = 1. (x1 , x2) = (1.x1 , 1.x2) = (x1 , x2) = A olur. Böylece R2 kümesi R üzerinde bir vektör uzayıdır.

Benzer şekilde, n≥1 tamsayı olmak üzeri Rn kümesi de yukarıda tanımlanan toplama ve skalerle çarpma işlemlerine benzer olarak tanımlanan sıralı n-lilerin toplamı ve bir skalerle bir sıralı-n linin çarpımı işlemlerine göre R üzerinde bir vektör uzayıdır. Verilen bir kümenin vektör uzayı olup olmadığını belirlemek için öncelikle, bu kümenin öğeleri üzerinde vektörel toplama ve skalerle çarpma işlemlerinin tanımlanmış olması, daha sonra da verilen kümenin öğelerinin vektör uzayı koşullarını sağlaması gerekir. Buna örnek olarak: V = { (x, y) | y = 2x , x ∈ R } kümesi bir vektör uzayı mıdır? şeklindeki bir soru anlamlı değildir. Çünkü, küme üzerinde vektörel toplama ve skalerle çarpma işlemleri belirtilmemiştir.

2.6. Örnek
V = { (x, y) | x, y ∈ R } kümesi üzerinde toplama ve skalerle çarpma işlemleri aşağıdaki gibi tanımlansın: ( x1 , x2 ) , ( y1 , y2 ) ∈ V , c ∈ R için ( x1 , x 2 ) + ( y 1 , y 2 ) = ( x1 + y 1 , 0 ) c ( x1 , x2 ) = ( c x1 , c x2 )
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

VEKTÖR UZAYLARI

95

V kümesi bu işlemlere göre bir vektör uzayı mıdır? Çözüm Bunun için, V kümesinin öğelerinin, verilen işlemlere göre vektör uzayı koşullarını sağlayıp sağlamadığını araştırmalıyız: V1 ve V2 özellikleri yani toplamanın değişme ve birleşme özelliklerinin varlığı kolayca doğrulanır. V3 koşulu olan etkisiz öğenin varlığını araştıralım: Her A ∈ V , A = ( x1 , x2 ) için A+E=A olacak şekilde bir E vektörü yani etkisiz (birim) vektör var mıdır? E = (a , b) olsun. a , b ∈ R A + E = ( x1 , x2 ) + (a , b) = ( x1 , x2 ) ( x 1 + a , 0 ) = ( x1 , x 2 ) iki vektörün eşitliğinden x 1 + a = x1 0 = x2 olur. Buradan daima x2 = 0 elde edilir. x2 ≠ 0 da olabileceğinden A + E = A eşitliğini her zaman sağlayan bir E vektörü yoktur. Örneğin, A = (1 , 2) için yukarıdaki eşitlik (1 , 2) + (a , b) = (1 , 2) (1 + a , 0) = (1 , 2) olur. Buradan 0 = 2 gibi doğru olmayan bir eşitlik elde edilir. Buna göre V üzerindeki toplama işleminin etkisiz öğesi yoktur yani, V verilen işlemlere göre bir vektör uzayı değildir. Şimdiye kadar R (gerçel sayılar kümesi), R2 (düzlemin noktalarının kümesi), R3 (uzayın noktalarının kümesi) ..., Rn (n boyutlu uzayın noktalarının kümesi) üzerinde bilinen toplama ve skalerle çarpım işlemlerini tanımlayarak, gerçel sayılar kümesinin, düzlemin noktaları kümesinin, uzayın noktaları kümesinin,... birer gerçel vektör uzayı olduklarını gösterdik. Bir vektör uzayının öğeleri polinomlar, matrisler, bir homojen lineer denklem sisteminin tüm çözümleri, kompleks sayılar, belli bir aralıkta tanımlanmış sürekli fonksiyonlar da olabilir. Bütün bunlar, vektör uzaylarının ne kadar çeşitli örneklerinin olduğunu gösterir. Bu söylediklerimize bir örnek verelim:
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ

96

VEKTÖR UZAYLARI

V = { p(x) = ax3 + bx2 + cx + d | a , b , c , d ∈ R } kümesi 3. dereceden bütün polinomların kümesi olsun. V kümesi üzerinde toplama ve skalerle çarpma daha önceden bildiğimiz polinom toplamı ve bir skalerle polinomun çarpımı işlemleri olarak verilsin; p(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 q(x) = b3 x3 + b2 x2 + b1 x + b0 olmak üzere p(x) + q(x) = ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + (a1 + b1 ) x + ( a0 + b0 ) c ∈ R için c.p(x) = c ( a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 ) = c a3 x3 + c a2 x2 + c a1 x + c a0 Bu işlemlere göre, V kümesinin R üzerinde bir gerçel vektör uzayı olduğunu kolayca gösterebilirsiniz. Uyarılar (i) V kümesinin etkisiz öğesi ile 0 sayısını birbiri ile karıştırmamak gerekir. V nin etkisiz öğesi p(x) = 0x3 + 0x2 + 0x + 0 şeklinde sıfır polinomudur. (ii) Her p(x) ∈ V , p(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 öğesinin ters öğesi ise -p(x) = -a3 x3 - a2 x2 - a1 x - a0 şeklindeki bir polinomdur. (iii) Her p(x) ∈ V , p(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 ; a3 , a2 , a1 , a0 ∈ R olduğundan p(x) öğesinde a3 , a2 , a1 , a0 katsayıları çeşitli durumlarda 0 değerini alabilir. Bu yüzden V = { p(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 | a3 , a2 , a1 , a0 ∈ R } kümesinin öğeleri, derecesi 3 veya 3 ten küçük bütün polinomlardan oluşur. Derecesi 3 veya 3 ten küçük bütün polinomların kümesi P3 (R) ile gösterilir. n ≥ 1 tamsayı olmak üzere Pn (R) kümesi derecesi n veya n den küçük bütün polinomların kümesidir. Pn (R) kümesi de polinomların toplamı ve bir skalerle polinomun çarpımı işlemlerine göre vektör uzayı olduğu benzer şekilde gösterilir. Vektör uzayı ile ilgili örneklerimizi biraz daha genişletelim: m x n tipinde matrisler, matris toplamı ve bir skalerle matrisin çarpımı işlemlerine göre bir vektör uzayı oluşturur. Bu vektör uzayı Mmn ile gösterilir.

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

VEKTÖR UZAYLARI

97

2.7. Örnek
M23 kümesinin, matris toplamı ve bir skalerle matrisin çarpımı işlemlerine göre R üzerinde bir vektör uzayı olduğunu gösteriniz. Çözüm M23 (2 x 3 tipindeki bütün matrislerin kümesi) nin R üzerinde bir vektör uzayı olduğunu göstermek için M23 nin öğelerinin vektör uzayı koşullarını sağladığını göstermeliyiz: Matris toplamının değişme ve birleşme özellikleri, sıfır matris (etkisiz öğe), bir matrisin toplamaya göre tersi, bir skalerle matrisin çarpım işlemleri 1. ünitede geniş olarak verildi. Buna göre her A , B , C ∈ M23 öğeleri vektör uzayı koşullarını sağlar. V1. V2. V3. V4. V5. V6. V7. V8. A+B=B+A (Matris toplamının değişme özelliği) (Matris toplamının birleşme özelliği)

A + (B + C) = (A + B) + C A+0=0+A=A

(Etkisiz öğe) (Ters öğe)

A + (-A) = -A + A = 0

c ∈ R , c (A + B) = c A + c B c1 , c2 ∈ R c1 , c2 ∈ R 1. A = A ( c1 + c2 ) A = c1 A + c2 A ( c1 c2 ) A = c1 (c2 A)

Böylece M23 kümesi verilen toplama ve skalerle çarpma işlemlerine göre R üzerinde bir vektör uzayıdır. Bunu daha genel olarak ifade edersek; m x n tipindeki matrislerin kümesi Mmn , matris toplamı ve bir skalerle matrisin çarpımı işlemlerine göre R üzerinde bir vektör uzayıdır.

3. Alt Uzaylar
Bu bölümde vektör uzaylarının yapısını daha ayrıntılı bir şekilde inceleyeceğiz.

AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ

98

VEKTÖR UZAYLARI

3.1. Tanım
V bir vektör uzayı ve W , V nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. W kümesi, V kümesinde tanımlanan toplama ve skalerle çarpma işlemlerine göre bir vektör uzayı oluşturuyorsa W ye V nin bir alt uzayı denir. Bu tanımdan aşağıdaki sonuçları elde etmek oldukça kolaydır: (i) Her vektör uzayı kendisinin bir alt uzayıdır. (ii) { 0 } kümesinin oluşturduğu sıfır vektör uzayı o vektör uzayının bir alt uzayıdır. Buna göre sıfır vektör uzayından farklı her vektör uzayının en az iki alt uzayı vardır.

3.2. Örnek
R2 kümesinin sıralı ikililerin toplamı ve bir skalerle sıralı ikilinin çarpımı işlemlerine göre bir vektör uzayı olduğunu biliyoruz. Yukarıda ifade edilen sonuçlara göre { (0 , 0) } ve R2 kümeleri aynı zamanda birer alt uzaylardır.

?

• •

Siz de R2 nin başka alt uzaylarını belirtebilir misiniz? Başlangıç noktasından geçen bütün doğrular aynı işlemlere göre R2 nin alt uzayı olabilirler mi?

3.3. Örnek
W = { (x , y) | y = x + 1 , x ∈ R } kümesi R2 nin bir alt uzayı mıdır? Çözüm Alt uzay tanımına göre, W alt uzay ise R2 deki işlemlere göre bir vektör uzayıdır. Dolayısıyla R2 nin sıfır vektörünü içermek zorundadır. Fakat, 0 = (0 , 0) ∉ W olduğundan ( x = 0 için y = 1 ) W = { (x , y) | y = x + 1 , x ∈ R } kümesi alt uzay değildir. Şimdi bir vektör uzayının boş olmayan herhangi bir alt kümesinin hangi koşullarda bir alt uzay olacağına ilişkin teoremi verelim:

3.4. Teorem
V bir vektör uzayı ve W, V nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. W nin V nin bir alt uzayı olması için gerekli ve yeterli koşul
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

VEKTÖR UZAYLARI

99

(i) x, y ∈ W iken x + y ∈ W (W , toplama işlemine göre kapalı) (ii) x ∈ W , c ∈ R iken c x ∈ W (W , skalerle çarpma işlemine göre kapalı) olmasıdır. Kanıt ⇒ : W , V nin bir alt uzayı olsun. Bu durumda (i) ve (ii) koşullarının sağlandığını gösterelim. W nin V nin bir alt uzayı olmasından dolayı, W nin kendisi de bir vektör uzayıdır. Bu nedenle (i) ve (ii) koşullarını sağlar. ⇐ : Tersine olarak W kümesi (i) ve (ii) koşullarını sağlasın. (ii) den x ∈ W , c ∈ R iken c x ∈ W olup, c = 0 ve c = -1 için 0 ∈ W ve -x ∈ W elde edilir. Buna göre etkisiz öğe ve W içindeki her x öğesinin tersi W içindedir. Bunun yanında vektör uzayının diğer koşulları W için de sağlanır. Yani V nin W alt kümesi , aynı zamanda bir vektör uzayıdır. Bu da bize W nin V nin alt uzayı olduğunu gösterir.

3.5. Örnek
W = { ( x1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 | x1 = 0 } kümesi R3 ün bir alt uzayı mıdır? Çözüm W nin R3 ün bir alt uzayı olması için x, y ∈ W iken x + y ∈ W c ∈ R, x ∈ W iken c x ∈ W olmalıdır. x, y ∈ W ise x = ( 0 , x2 , x3 ) ve y = ( 0 , y2 , y3 ) olur. (W nin öğeleri 1. bileşenleri 0 olan vektörlerdir.) x + y = ( 0 , x 2 , x3 ) + ( 0 , y 2 , y 3 ) = ( 0 , x2 + y2 , x3 + y3 ) ∈ W c ∈ R ve x ∈ W iken c x = c ( 0 , x2 , x3 ) = ( 0 , c x2 , c x3 ) ∈ W elde edilir. Böylece W kümesinin öğeleri alt uzay olma koşullarını sağlar. W, R3 ün bir alt uzayıdır. Bu alt uzayın yz - düzlemi olduğuna dikkat ediniz.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ

100

VEKTÖR UZAYLARI

3.6. Örnek
W = { ( x1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 | x1 + x2 = 2 } kümesi R3 ün bir alt uzayı mıdır? Çözüm A, B ∈ W için A + B ∈ W olmalıdır. A = ( x 1 , x 2 , x 3 ) , x 1 + x2 = 2 B = ( y1 , y2 , y3 ) , y1 + y2 = 2 A + B = ( x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ) , x1 + y1 + x2 + y2 = x1 + x2 + y1 + y2 =2+2=4≠2 olduğundan A + B ∉ W dir. O halde W , R3 ün bir alt uzayı değildir.

3.7. Örnek n ≤ m ise Pn (R) , Pm (R) nin bir alt uzayı mıdır? Çözüm Pm (R) derecesi m veya m den küçük bütün polinomların kümesidir. Bu kümenin polinomların toplamı ve bir skalerle polinomun çarpımı işlemlerine göre bir vektör uzayı olduğunu biliyoruz. Pn (R) ⊆ Pm (R) ve p(t) , q(t) ∈ Pn (R) , r ∈ R için derece ( p(t) + q(t)) = maksimum { derece p(t) , derece q(t) } ≤ n derece (r . p(t) ) = derece ( p(t) ) ≤ n olduğundan, ( p(t) + q(t) ) ∈ Pn (R) ve (r p(t) ) ∈ Pn (R) dir. Yani Pn (R) kümesi polinom toplamı ve skalerle polinomun çarpımına göre kapalıdır. O halde Pn (R) kümesi Pm (R) vektör uzayının bir alt uzayıdır.

4. Bir Kümenin Gerdiği (Ürettiği) Alt Uzay
4.1. Tanım
Bir V vektör uzayının x1 , x2 , ... , xn vektörleri verilsin. c1 , c2 , ... , cn gerçel sayılar olmak üzere bir x ∈ V vektörü x = c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn şeklinde

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

VEKTÖR UZAYLARI

101

yazılabiliyorsa, yani, bu yazılışı sağlayacak şekilde, c1 , c2 , ... , cn gerçel sayıları bulunabiliyorsa x vektörü x1 , x2 , ... , xn vektörlerinin bir lineer bileşimidir denir.

4.2. Örnek
R3 de x1 = (1 , 0 , 3) , x2 = (0 , 1 , 0) , x3 = (2 , 1 , 0) vektörleri verilsin. x = (3 , 1 , 3) vektörünün verilen x1 , x2 , x3 vektörlerinin bir lineer bileşimi olduğunu gösterelim: x vektörünün, verilen 3 vektörün lineer bileşimi olması için x = c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 şeklinde yazılması gerekir. Bir başka deyişle c1 , c2 , c3 gerçel sayılarının bulunması gerekir. Buna göre, (3 , 1 , 3) = c1 (1 , 0 , 3) + c2 (0 , 1 , 0) + c3 (2 , 1 , 0) (3 , 1 , 3) = (c1 + 2c3 , c2 + c3 , 3c1) elde edilir. İki vektörün eşitliğinden c1 + 2c3 = 3 c2 + c3 = 1 3c1 = 3 çıkar ve bu üç eşitlikten c1 = 1 , c2 = 0 , c3 = 1 bulunur. (3 , 1 , 3) = 1 . (1 , 0 , 3) + 0 . (0 , 1 , 0) + 1 . (2 , 1 , 0) Buna göre (3 , 1 , 3) vektörü (1 , 0 , 3) , (0 , 1 , 0) , (2 , 1 , 0) vektörlerinin bir lineer bileşimidir.

4.3. Örnek
R3 deki x = (2 , 0 , 6) vektörü x1 = (1 , 1 , 0) ve x2 = (1 , 0 , 2) vektörlerinin bir lineer bileşimi midir? Çözüm x = (2 , 0 , 6) vektörünün verilen x1 = (1 , 1 , 0) ve x2 = (1 , 0 , 2) vektörlerinin lineer bileşimi olması için (2 , 0 , 6) = c1 (1 , 1 , 0) + c2 (1 , 0 , 2)

AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ

102

VEKTÖR UZAYLARI

eşitliğindeki c1 ve c2 gerçel sayılarının bulunması gerekir. Yukarıdaki eşitlikten (2 , 0 , 6) = ( c1 + c2 , c1 , 2c2 ) olur. Buradan c1 + c2 = 2 c1 = 0 2c2 = 6 son iki eşitlikten c1 = 0 , c2 = 3 bulunur. Bu değerler c1 + c2 = 2 denkleminde yerine konursa 3 = 2 şeklinde doğru olmayan bir eşitlik bulunur. Bu sonuç x = (2 , 0 , 6) vektörünün x1 = (1 , 1 , 0) ve x2 = (1 , 0 , 2) vektörlerinin lineer bileşimi olmadığını gösterir.

4.4. Tanım
Bir V vektör uzayının x1 , x2 , ... , xn vektörlerinin bütün lineer bileşimlerinden oluşan kümeye x1 , x2 , ... , xn vektörlerinin lineer bileşimler kümesi denir ve L ( { x1 , x2 , ... , xn } ) şeklinde gösterilir.

4.5. Teorem
Bir V vektör uzayının x1 , x2 , ... , xn vektörlerinin bütün lineer bileşimlerinin kümesi L ({x1 , x2 , ..., xn}) , V nin bir alt uzayıdır. Kanıt V nin x1 , x2 , ..., xn vektörlerinin kümesi S olsun. S = {x1, x2, ..., xn}. S nin öğelerinin mümkün olan bütün lineer bileşenlerinin kümesi, L(S) = L ({x1 , x2 , ..., xn } ) = { c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn | c1, c2, ..., cn ∈ R } dir. L(S) nin V nin alt uzayı olduğunu göstereceğiz. L(S), alt uzay olma koşullarını sağlar. Çünkü, A, B ∈ L (S) için A + B ∈ L(S) dir. Yani L(S) deki herhangi iki lineer bileşimin toplamı yine L(S) de bir lineer bileşimdir. Dolayısıyla L(S) toplama işlemine göre kapalıdır. c ∈ R, A ∈ L (S) için c A ∈ L(S) dir. Yani L(S) deki bir lineer birleşimin bir skalerle çarpımı yine L(S) 'deki bir lineer bileşimdir. Dolayısıyla L(S) skalerle çarpma işlemine göre de kapalıdır. O halde L(S), V nin bir alt uzayıdır.

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

VEKTÖR UZAYLARI

103

4.6. Tanım
V bir vektör uzayı ve V nin x1 , x2 , ..., xn vektörlerinin kümesi S olsun. L (S) alt uzayına, S kümesinin gerdiği alt uzay denir. Eğer V vektör uzayındaki her x vektörü S deki vektörlerin bir lineer bileşimi olarak yazılabiliyorsa yani kısaca, x ∈ V için x ∈ L (S) ise S kümesi V vektör uzayını gerer veya doğurur denir ve L (S) = V şeklinde yazılır.

4.7. Örnek
R2 de (1, 0) vektörünün gerdiği alt uzayı bulunuz. Çözüm R2 de (1, 0) vektörünün gerdiği alt uzay (1, 0) vektörünün bütün lineer bileşimlerinin kümesidir. L ({1, 0}) = { c (1, 0) | c ∈ R } = { (c, 0) | c ∈ R } Bu küme c ∈ R olmak üzere (c, 0) şeklindeki bütün noktaların kümesidir. Biraz dikkat edersek bu kümenin noktaları y = 0 doğrusunu, bir başka deyişle, x - eksenini oluştururlar. O halde R2 nin (1, 0) vektörü tarafından gerilen alt uzayı x - eksenidir. Ayrıca x - ekseni üzerindeki her noktanın, (1, 0) vektörü cinsinden yazılabileceği de açıktır yani, x - ekseni üzerindeki herhangi bir nokta A = (a, 0) ise (a, 0) = a (1, 0) şeklinde yazılabilir.

4.8. Örnek
R2 de (1, 0) ve (1, 1) vektörlerinin gerdiği alt uzayı bulunuz. Çözüm (1, 0), (1,1) vektörlerinin gerdiği alt uzay, bu vektörlerin bütün lineer bileşimlerinin kümesi

AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ

104

VEKTÖR UZAYLARI

L ({ (1, 0), (1, 1) }) = {a (1, 0) + b (1, 1) | a, b ∈ R } = { (a + b, b) | a, b ∈ R } dir. Şimdi R2 nin herhangi bir vektörünün (1, 0) ve (1, 1) vektörlerinin lineer bileşimi olarak yazılıp yazılamayacağına bakalım: (x, y) ∈ R2 olsun. (x, y) = a (1, 0) + b (1, 1) (x, y) = (a + b, b) iki vektörün eşitliğinden x = a + b, y = b buradan a = x - y ve b = y bulunur. Bu değerleri (1) de yerine yazalım, (x, y) = (x - y) (1 , 0) + y (1, 1) olur. Böylece R2 nin herhangi bir (x, y) vektörü (1, 0), (1,1) vektörlerinin lineer bileşimi olarak yazılabiliyor. O halde {(1, 0), (1, 1)} kümesi R2 yi gerer yani, L ({ (1, 0), (1, 1) }) = R2 olur. Örnek olarak (3, 7) ∈ R2 nin (1, 0), (1, 1) in lineer bileşimi olarak yazıldığını görelim: (3, 7) = (-4) (1, 0) + 7 (1, 1) olur. (1)

4.9. Örnek
P2 (R) de x, 1 + x vektörlerinin gerdiği alt uzayı bulalım: P2 (R) derecesi 2 veya 2 den küçük bütün polinomların oluşturduğu bir vektör uzayıdır. Uyarı • Bir vektör uzayının öğelerine vektör denildiği için x ve 1 + x polinomlarına da vektör diyeceğiz.

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

VEKTÖR UZAYLARI

105

{ x, 1 + x } kümesinin gerdiği P2 (R) nin alt uzayını arıyoruz. Bunun için x, 1 + x vektörlerinin bütün lineer bileşimlerini bulalım, P(x) = L ({ x, 1 + x } )= { a x + b (1 + x) | a, b ∈ R } = { (a + b) x + b) | a, b ∈ R } P (x) kümesi, p(x) = (a + b) x + b kümesi olur ve P(x) ⊆ P1 (x) yazılır. Şimdi de P1 (R) nin herhangi bir vektörünün x, 1 + x vektörlerinin lineer bileşimi olarak yazılabileceğini gösterelim: q(x) = α x + β ∈ P1 (R) α, β ∈ R alalım. α x + β = a x + b (1 + x) = (a + b) x + b iki polinomun eşitliğinden α = a + b, β = b buradan a = α - β , b = β bulunur. α x + β = (α - β) x + β (1 + x) buradan P1 (x) ⊆ P(x) olur. (1) ve (2) eşitliklerinden P(x) = P1 (x) yazılır. Böylece x, 1 + x vektörlerinin oluşturduğu alt uzay, L({ x, 1 + x } ) = P1 (R) olur. Şimdiye değin verilen vektör kümesinin gerdiği alt uzayları bulmaya çalıştık. Şimdi de verilen alt uzayları geren vektörleri bulmaya çalışalım. (2) a, b ∈ R şeklindeki 1. dereceden polinomların

(1)

4.10. Örnek
R2 nin 3x - y = 0 alt uzayını geren bir vektör bulunuz. Çözüm R2 nin 3x - y = 0 alt uzayı, W = { (x , y) | y = 3x , x ∈ R } = { (x , 3x) | x ∈ R }

AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ

106

VEKTÖR UZAYLARI

kümesidir. Buna göre 3x - y = 0 alt uzayının her öğesi, (x , 3x) = x (1 , 3) , x ∈ R şeklindeki vektörlerdir, yani (1 , 3) vektörünün uygun bir gerçel sayı ile çarpımıdır. O halde (1 , 3) vektörü 3x - y = 0 alt uzayını gerer. Siz de, 3x - y = 0 alt uzayını geren başka vektörler bulunuz; (2 , 6) veya (3 , 7) vektörleri 3x - y = 0 alt uzayını gerer mi?

4.11. Örnek
R3 ün x + y + z = 0 alt uzayını geren vektörlerin kümesini bulunuz. Çözüm R3 ün x + y + z = 0 alt uzayı, W = { (x , y , z) | x + y + z = 0 , x , y , z ∈ R } = { (x , y , -x -y) | x , y ∈ R } kümesidir. Buna göre x + y + z = 0 alt uzayının her öğesi, (x , y , -x -y) x , y ∈ R şeklinde yazılabilir. Burada x ve y nin keyfi her gerçel değeri için W kümesinin bir öğesi elde edilir. x = 0 , y = 1 için (0 , 1 , -1) ∈ W x = 1 , y = 2 için (1 , 2 , -3) ∈ W bulunur. Buna göre A = (0 , 1 , -1) ve B = (1 , 2 , -3) vektörleri W kümesinin yani x + y + z = 0 alt uzayının öğeleridir. İşte bu vektörler verilen alt uzayı gererler. Bunu görmek için, W kümesinden herhangi bir öğe alıp bu öğenin (0, 1, -1) ve (1 , 2 , -3) vektörlerinin lineer bileşimi şeklinde yazılabileceğini görmeliyiz: E ∈ W için E = (a , b , -a -b) alalım. (a , b , -a -b) = c1 A + c2 B olacak şekilde c1 ve c2 gerçel sayılarını bulmalıyız. (a , b , -a -b) = c1 (0 , 1 , -1) + c2 (1 , 2 , -3) (a , b , -a -b) = ( c2 , c1 + 2c2 , -c1 -3c2 ) iki vektörün eşitliğinden

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

VEKTÖR UZAYLARI

107

a = c2 b = c1 + 2c2 -a -b = -c1 -3c2 elde edilir. Buradan c1 = b - 2a , c2 = a bulunur ve (a , b , -a -b) = (b - 2a) (0 , 1 , -1) + a (1 , 2 , -3) eşitliği elde edilir. Buna göre W vektör uzayının her bir öğesi, (0 , 1 , -1) ve (1 , 2 , -3) vektörlerinin uygun bir lineer bileşimidir. O halde bu vektörler W alt uzayını gererler. Sizde; W vektör uzayını geren başka iki vektör bulunuz, (1 , 3 , -4) , (2 , 6 , -8) vektörlerinin W yi germediğini gösteriniz.

Değerlendirme Soruları
1. Aşağıda verilen kümelerden hangisi tanımlanan işlemlere göre bir vektör uzayıdır? A. V= { (x, y) | x, y ∈ R } kümesi üzerinde toplama ve skalerle çarpma işlemleri (x1 , y1) + (x2 , y2) = (x1 + x2 , 0) c (x, y) = (c x, 0) şeklinde veriliyor. B. R gerçel sayılar kümesi üzerinde toplama ve skalerle çarpma işlemleri x+y=x-y cx=cx şeklinde veriliyor. C. V= { (x, y) | y = 2x, x ∈ R } kümesi üzerinde toplama ve skalerle çarpma işlemleri sıralı ikililerin toplamı ve bir skalerle sıralı ikilinin çarpımı şeklinde veriliyor. D. V= { (x, y) | x , y ∈ R } kümesi üzerinde toplama ve skalerle çarpma işlemleri (x1 , y1) + (x2 , y2) = (1, x1 x2) c (x1 , y1) = (c x1, 0) E. V= { (x, y) | x , y ∈ R } kümesi üzerinde toplama ve skalerle çarpma işlemleri (x1 , y1) + (x2 , y2) = (x1 x2 , y1 y2) c (x1 , y1) = (c x1 , y1)

AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ

108

VEKTÖR UZAYLARI

2. Aşağıda verilen kümelerden hangisi tanımlanan işlemlere göre bir vektör uzayıdır? A. V= { (x, y) | y = x + 1, x ∈ R } (x1 , y1) + (x2 , y2) = (0, y1 + y2) c (x1 , y1) = (c1 x1 , 0) şeklinde veriliyor. B. P2 (R) kümesi üzerinde toplama ve skalerle çarpma işlemleri sırasıyla polinomların toplamı ve skalerle bir polinomun çarpımı şeklinde veriliyor. C. M22 kümesi üzerinde toplama ve skaler ile çarpma işlemleri sırasıyla A, B ∈ M22 , c ∈ R için A + B = AB cA şeklinde veriliyor. D. M35 kümesi üzerinde toplama ve skalerle çarpma işlemleri sırasıyla A + B = B , cA = A şeklinde veriliyor. c E. V= { (x, y, z) | x, y, z ∈ R } toplama ve skalerle çarpma işlemleri (x , y , z) + (a, b, c) = (1 , y + b , z + c) (x, y, z) = (cx , cy , cz) şeklinde veriliyor. 3. Aşağıdaki kümelerden hangisi R3 ün bir alt uzayıdır? A. B. C. D. E. E = { (x1 , x2 , x3) ∈ R3 | x1 = 1, x2 , x3 ∈ R} E = { (x1 , x2 , x3) ∈ R3 |x1 ≥ 0, x2 + x3 = 5, x1 , x2 , x3 ∈ R} E = { (x1 , x2 , x3) ∈ R3 |x1 + 2x2 + 3x3 = 0, x1 , x2 , x3 ∈ R} E = { (x1 , x2 , x3) ∈ R3 |x1 + x2 = 2, x3 ≠ 0, x1 , x2 , x3 ∈ R } E = { (x1 , x2 , x3) ∈ R3 |x2 ≠ 0, x1 , x2 , x3 ∈ R}

4. W kümesi R3 de x1 = (1, 2, 0), x2 = (2, 0, 1) vektörlerinin gerdiği bir alt uzay olduğuna göre aşağıdaki vektörlerden hangisi W nin bir öğesidir? A. B. C. D. E. 5. (1, 3, 5) (0, 1, 2) (-1, -2, -3) (1/2, 1, 6) (1, 2, 0)

R2 nin x + y = 0 alt uzayını geren vektör hangisidir? A. B. C. D. E. (2 , 1) (0 , 0) (1 , -1) (-1 , -1) (-1 , 0)

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

VEKTÖR UZAYLARI

109

6.

R3 ün x - y + z = 0 alt uzayını geren vektör kümesi hangisidir? A. B. C. D. E. { (1 , 1 , 1) } { (1 , 0 , 1) , (0 , 0 , 0) } { (1 , 1 , 2) , (0 , 1 , 0) } { (1 , 1 , 0) , (0 , 1 , 1) } { (0 , 0 , 0) , (1 , 1 , 1) }

7.

R de (1) vektörünün gerdiği alt uzay hangisidir? A. B. C. D. E. 1 R R2 R3 P1 (R)

8.

R2 de { (1 , 1) (1 , 2) } kümesinin gerdiği alt uzay hangisidir? A. B. C. D. E. { (1 , 1) } R R2 P2 (R) P3 (R)

9.

Pn (R) de { 1 , x } kümesinin gerdiği alt uzay hangisidir? A. B. C. D. E. R R2 R3 P1 (R) P2 (R)

10. R3 deki (1 , 1 , x) vektörü x ni hangi değeri için (1 , 0 , 3) , (2 , 1 , 0) vektörlerinin lineer bileşimi olarak yazılabilir? A. B. C. D. E. -3 -2 0 1 3

11. Aşağıdaki vektörlerden hangisi R3 ün L ( { (0 , 1 , 1) , (2 , 0 , 0) } ) alt uzayının bir öğesidir? A. B. C. D. E. (1 , 2 , 3) (4 , 1 , 1) (3 , 1 , 1) (0 , 0 , 1) (5, -1 , 0)

AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ

110

VEKTÖR UZAYLARI

12. Aşağıdaki kümelerden hangisi R2 yi gerer? A. B. C. D. E. { (1 , 1) , (2 , 2) } { (0 , 0) , (1 , 1) } { (1 , 2) , (3 , 4) } { (1 , 1) , (-1 , -1) } { (0 , 1) , (0 , 5) }

Değerlendirme Sorularının Yanıtları 1. C 2. B 3. C 4. E 5. C 6. D
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

7. B

8. C

9. D

10. A

11. B

12. C…...

Similar Documents

Premium Essay

Linear Optimization

...DECISION MODELING DECISION WITH WITH MICROSOFT EXCEL MICROSOFT Linear Optimization Linear Optimization A constrained optimization model takes the form of a constrained performance measure to be optimized over a range of feasible values of the decision variables. The feasible values of the decision variables are determined by a set of inequality constraints. constraints Values of the decision variables must be chosen such that the inequality constraints are all satisfied while either maximizing or minimizing the desired performance variable. These models can contain tens, hundreds, or thousands of decision variables and constraints. Linear Optimization Very efficient search techniques exist to optimize constrained linear models. constrained These models are historically called linear programs linear (LP). In this chapter we will: 1. Develop techniques for formulating LP models 2. Give some recommended rules for expressing LP models in a spreadsheet that facilitates application of Excel’s Solver 3. Use Solver to optimize spreadsheet LP models Formulating LP Models Every linear programming model has two important features: Objective Function Constraints A single performance measure to be maximized or minimized (e.g., maximize profit, minimize cost) Constraints are limitations or requirements on the set of allowable decisions. Constraints may be further classified into physical, economic, or policy limitations......

Words: 4037 - Pages: 17

Premium Essay

Linear Programming

...LINEAR PROGRAMMING  Definition. A mathematical technique for solving constrained maximization and minimization problems when there are many constraints and the objective function to be optimized, as well as the constraints faced, are linear (i.e., can be represented by straight lines)  Assumptions.  -LP is based on the assumption that the objective function that the organization seeks to optimize (maximize or minimize), as well as the constraints that it faces, are linear and can be represented GRAPHICALLY by straight lines.  -Input and output prices are constant  -Average and marginal costs are constant and equal (they are linear)  -Profit per unit is constant; profit function is linear  Applications of Linear Programming  1. Optimal process selection  2. Optimal product mix  3. Satisfying minimum product requirements  4. Long-run capacity planning  5. Other specific applications of linear programming  Basic Linear Programming Concepts  A. Production Process and Isoquants  -where a production process or activity can be represented by a straight line ray from the origin in input space  B. Optimal Mix of Production Process  Procedure Used in Formulating and Solving Linear Programming Problems  The steps followed in solving linear programming problem are:  1. Express the objective function of the problem as an equation and the constraints as inequalities.  2. Graph the inequality constraints and define the feasible region.  3. Graph......

Words: 277 - Pages: 2

Premium Essay

Linear Regression

...Linear Regression I would like to know if people who enjoy thrill seeking have tattoos. I believe thrill seeking and tattoos go hand in hand. Most people I know are adventurous, risk takers, and daredevils and all of them have tattoos. I have a strong feeling that the correlation between the two will have a strong positive relationship. X= Tattoos Y= Thrill Seeking The scatter plot shows an extremely rough linear pattern but there is an upward sloping. Line of best fit: y = 0.9148x +25.505 Analysis: 1. r = .14 little or no correlation 2. R^2 = 2% 2% of the variance in thrill seeking is accounted by tattoos. 3. Slope = 0.0196(m) For every 1 tattoo people have there is an increase we expected of 0.9148 in thrill seeking. Conclusion: Between these two variables, there are no correlations between the two. It was shocking to see there is no relationship between the two. I truly believed people who are thrill seekers have tattoo. T-Test Independent 2 Sample My gym teacher believes that males are stronger than females and that is why males have more tattoos. The scale is determine by the number of tattoos both males and females have. Eighty-four males and one hundred and eleven females responded. The males average 39 (s.d. 1.42) while the females average 38 (s.d. 0.98). At the .10 significance level, test to see if there is a difference between males having more tattoos than females? Ho: Null Hypothesis Males equal Females Ha: Null......

Words: 478 - Pages: 2

Free Essay

Linear Accelerator

...Linear Accelerator July 16, 2013 HCS212 Health Care Vocabulary Ashley Fritz   Being the Administrative Director here at Pediatric Cancer Specialist for over ten years, there has been notice of need of improvement to our growing facility and the radiation therapy given to the patients. Since our facility has opened in the year of 2000 we have been operating the same way every year and it is time to introduce some new technology in to the center. Research has been done for many days to find new machines that will help improve our radiation therapy process to our patients and also improve the way that this center operates. What has come about during the research is the newest and most advanced machine used in radiation therapy to treat cancer tumors and some benign diseases. This new machine we will be using is called a LINAC short abbreviation for the term Linear Accelerator. The LINAC is pretty expensive and is at a pricey one million dollars, but this machine will improve the radiation therapy given to our patients. Having this machine will improve radiation therapy here at Pediatric Cancer Specialist. Also there is belief that our satisfaction rates from our patients will improve with the new technology. Before bringing the machine into our building, everyone will be required to take a course and a test on how to operate this machine. We need everyone to know how to work this machine, just in case the specific technician scheduled will not be at work that......

Words: 729 - Pages: 3

Premium Essay

Linear Regression

...Linear Regression deals with the numerical measures to express the relationship between two variables. Relationships between variables can either be strong or weak or even direct or inverse. A few examples may be the amount McDonald’s spends on advertising per month and the amount of total sales in a month. Additionally the amount of study time one puts toward this statistics in comparison to the grades they receive may be analyzed using the regression method. The formal definition of Regression Analysis is the equation that allows one to estimate the value of one variable based on the value of another. Key objectives in performing a regression analysis include estimating the dependent variable Y based on a selected value of the independent variable X. To explain, Nike could possibly measurer how much they spend on celebrity endorsements and the affect it has on sales in a month. When measuring, the amount spent celebrity endorsements would be the independent X variable. Without the X variable, Y would be impossible to estimate. The general from of the regression equation is Y hat "=a + bX" where Y hat is the estimated value of the estimated value of the Y variable for a selected X value. a represents the Y-Intercept, therefore, it is the estimated value of Y when X=0. Furthermore, b is the slope of the line or the average change in Y hat for each change of one unit in the independent variable X. Finally, X is any value of the independent variable that is......

Words: 1324 - Pages: 6

Premium Essay

Linear Programming

...The development of linear programming has been ranked among the most important scientific advances of the mid 20th century. Its impact since the 1950’s has been extraordinary. Today it is a standard tool used by some companies (around 56%) of even moderate size. Linear programming uses a mathematical model to describe the problem of concern. Linear programming involves the planning of activities to obtain an optimal result, i.e., a result that reaches the specified goal best (according to the mathematical model) among all feasible alternatives. Linear Programming as seen by various reports by many companies has saved them thousands to even millions of dollars. Since this is true why isn’t everyone using Linear Programming? Maybe the reason is because there has never been an in-depth experiment focusing on certain companies that do or do not use linear programming. My main argument is that linear programming is one of the most optimal ways of resource allocation and making the most money for any company today. I used (in conjunction with another field supporter – My Dad) the survey method to ask 28 companies that were in Delaware, New Jersey, and Pennsylvania whether they were linear programming users. In addition, I wanted to examine the effect of the use of linear programming across three different but key decision support areas of the participating companies to include (1) Planning (2) Forecasting and (3) Resource Allocation. The companies were selected randomly from the......

Words: 326 - Pages: 2

Free Essay

Linear Algebra

... SCHAUM’S outlines SCHAUM’S outlines Linear Algebra Fourth Edition Seymour Lipschutz, Ph.D. Temple University Marc Lars Lipson, Ph.D. University of Virginia Schaum’s Outline Series New York Chicago San Francisco Lisbon London Madrid Mexico City Milan New Delhi San Juan Seoul Singapore Sydney Toronto Copyright © 2009, 2001, 1991, 1968 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Except as permitted under the United States Copyright Act of 1976, no part of this publication may be reproduced or distributed in any form or by any means, or stored in a database or retrieval system, without the prior written permission of the publisher. ISBN: 978-0-07-154353-8 MHID: 0-07-154353-8 The material in this eBook also appears in the print version of this title: ISBN: 978-0-07-154352-1, MHID: 0-07-154352-X. All trademarks are trademarks of their respective owners. Rather than put a trademark symbol after every occurrence of a trademarked name, we use names in an editorial fashion only, and to the benefit of the trademark owner, with no intention of infringement of the trademark. Where such designations appear in this book, they have been printed with initial caps. McGraw-Hill eBooks are available at special quantity discounts to use as premiums and sales promotions, or for use in corporate training programs. To contact a representative please e-mail us at bulksales@mcgraw-hill.com. TERMS OF USE This is a copyrighted work and The McGraw-Hill Companies...

Words: 229129 - Pages: 917

Premium Essay

Linear Tech

...Executive Summary Entering the 4th quarter of Linear Technology’s fiscal year 2003 the market continues to show signs of improvement. The company has shown steady growth in the last year and revenues are estimated to increase 19% over FY 2002. Based on this estimate, FY 2003 net income will hit $222.7 million ($0.71 earnings per share); a 12.6% growth from the previous year. Operating cash flow; while lower than 2000 and 2001 has shown a modest increase since 2002 and continues to be positive due to the company’s variable cost structure. This is in-part is due to more efficient working capital investments and “other” adjustments to income, awarding the company a 10% increase in net cash flow year-over-year. Linear Technology has increased its cash holdings to excess of $1.5 billion through employing cost savings initiatives, though these holdings have only shown investors modest returns in the neighborhood of 4.25% ($0.10 earnings per share). While modest, investors have come to expect this form of conservativeness and there has been little outcry of agency issues. Looking ahead, based on an analog “fabs” life expectancy of 10 plus years, capital investments, for a new “fab”, will be required in the next one or two years in excess of $200 million; leaving more than sufficient cash holdings while requiring no leveraging. Based on these financials, Linear Technology should look to increase its dividend payout by $0.01 per share. This has become the expected trend over the......

Words: 1555 - Pages: 7

Free Essay

A Linear Equation

...A linear equation In this lesson you can learn how to solve a simplest equation with one unknown variable. I will start with the following example. Solve an equation 5x - 8 + 2x - 2 = 7x - 1 - 3x - 3 for the unknown variable x. The left side of the equation is an expression, which is to the left of the equal sign. The right side of the equation is an expression, which is to the right of the equal sign. In our case the left side of the equation is 5x - 8 + 2x - 2, while the right side is 7x - 1 - 3x - 3. Terms containing variable x are called variable terms; terms containing the numbers only are called constant terms, or simply constants. The equation under consideration is called a linear equation, because its both sides are linear polynomials. The solution of an equation is such a value of the variable x that turns the equation into a valid equality when this value is substituted to both sides. I am explaining below how to solve this linear equation, in other words, how to find the unknown value of the variable x. The first step you should do is to simplify both sides of the equation by collecting the common terms containing variable x and the common constant terms separately at each side of the equation. Let us do it. By collecting common terms with the variable x at the left side, you will get 5x + 2x = 7x. By collecting common constant terms at the left side you will get -8 - 2 = -10. Thus, now the left side is 7x - 10. Making similar calculations...

Words: 304 - Pages: 2

Premium Essay

Linear

...It may also attract investors that prefer companies that pay dividends. For example, a cash dividend is to be paid at specified times (usually quarterly), however a stock repurchase is not. For some investors, the dependability of the dividend may be more important. Also, I think that dividends help to avoid wasting firms’ cash on not necessarily needed or unproductive projects or acquisitions.  3. Linear Technology is considering increasing dividends in the 4th quarter of 2003. Is Linear Technology in a financial position to consider a dividend increase (particularly in light of the sharp decline in sales and profits in fiscal year 2002)? It seems to me that Linear Technology is not in an appropriate financial position to consider a dividend increase. The company`s performance was good, but numbers were far below the levels of fiscal year 2001. Case study claims that “management did not see a clear path of reaching levels of 2001 in the next years” (Baker, 2004). Moreover, there were some geopolitical factors (war in Iraq) that challenged the US economy. 4. Suppose Linear Technology determines it wants to return more cash to shareholders. One way to do this is through increasing its regular quarterly dividend payment to shareholders. Name another way to distribute cash to shareholders other than dividends. What are the advantages and disadvantages of this alternative way of distributing cash? Another way to distribute cash to shareholders is stock repurchase.......

Words: 848 - Pages: 4

Premium Essay

Linear Equations

...      One of the most important concepts that we learned in this course is formulating linear equations from everyday life problems that need solutions.  With this concept under your belt you will always be able to find solutions in everday life. For example what if you have a new house interior to paint and you need to figure out how much paint you should purchase.  Through this course we have attained the ability to determine the exact amount of paint needed to be purchased.  What many fail to realize is that math is in our lives daily on multiple occasions.  This course provided the comfort of being able to handle this daily math without worries.  Out of all the concepts explained inequalities seem to be the least important to everyday life.  Although they seem the least important does not mean they are useless.  Someone somewhere is using these equations for a significant task.  How do you think you will use the information you learned in this course in the future? Which concepts will be most important to you? Which will be least important? Explain your answers.    I will continue to use basic mathematical (algebraic) calculations such as expenses versus income in applicable situations, estimation of materials based upon linear measurements and the calculation of expenses based upon the cost factor of those materials as I progress in my personal life. I do see myself for personal reasons, using simple graphs to get ideas or guidance on how my personal venture(s)......

Words: 404 - Pages: 2

Premium Essay

Linear Programming

...Merton Trucks Case Note Abstract We discuss Merton Trucks [Dhe90a] as a case to introduce linear programming in the MBA program. This case adapted from Sherman Motor Company case, was used to introduce Linear Programming formulations as well as duality. Refer to the teaching note [Dhe90b]. Our approach differs from the approach suggested by Dhebar [Dhe90b]. First, our audience consists pre-dominantly of engineers with not too much work experience. As a result, handling math and algebra is relatively easy. Explaining the algebraic formulation, graphical approach and using the Excel solver do not consume that much time. Second, because this case is used during the first week of the MBA program, students are still unfamiliar with the case methodology and we spend significant time in understanding case facts. The circular logic used in allocating fixed costs based on the product mix that in turn is used in deciding the product mix takes some time to understand. Third, because of the participant background, they have difficulty in translating the model to the specific business situation and interpreting the trade-offs involved in various what-if analyses that are prompted by the case questions. We return to the case when we teach duality. After explaining duality, we analyze the case to show how some of the questions and what-if analyses can be simplified using duality. This note is based on our experiences with teaching three large batches of students in our MBA programs. 1 1......

Words: 2007 - Pages: 9

Free Essay

Linear Transformation

...Question #3 (a)Clearly T has a linear transformation Kernel of T is the set of all vectors | x1 | x2 | | | in R2 such that | (*)     | T (  | x1 | x2 | | |  ) = 0R2   | This yields the equation 1 x1 +1 x2 | 1 x1 +0x2 | | |  =  | 0 | 0 | | | The matrix equation above is equivalent to the following homogeneous system of equations 1 x1 |  +1 x2 | = | 0 | 1 x1 |  +0 x2 | = | 0 |   | | We now transform the coefficient matrix of the homogeneous system above to the reduced row echelon form to determine the solution space.  1  |  1  |  1  |  0  | | can be transformed by a sequence of elementary row operations to the matrix  1  |  0  |  0  |  1  | | The reduced row echelon form of the augmented matrix is  1  |  0  |  0  |  1  | | which corresponds to the system 1 x1 |   | = | 0 | | 1 x2 | = | 0 | The leading entries in the matrix have been highlighted in yellow. x1 | = | 0 | x2 | = | 0 | This means the kernel consists only of the zero vector, and consequently has no basis.  Comments | * The nullity of T is 0. This is the dimension of the kernel of L. * T is a one-to-one transformation since ker T = {0R2}. * T is not a one-to-one onto ransformation.Question #1 T=R3 _ R3T(x)=A(x) A X 1  2 1 | 1 -1 12 1 1 | | |  X | 2 | 1-4 | | | 0 | -31 | | | |   | | Question # 2References ......

Words: 256 - Pages: 2

Free Essay

Linear Correlation

...MODULE 6 EXERCISE Linear Correlation IRINA QUENGA EG 381 STATISTICS 02/22/2015 ITT TECHNICAL INSTITUTE Task 1: Listed below are baseball team statistics, consisting of the proportions of wins and the result of this difference: Difference (number of runs scored) - (number of runs allowed). The statistics are from a recent year, and the teams are NY—Yankees, Toronto, Boston, Cleveland, Texas, Houston, San Francisco, and Kansas City. Difference 163 55 –5 88 51 16 –214 Wins 0.599 0.537 0.531 0.481 0.494 0.506 0.383 A) Construct a scatter plot, find the value of the linear correlation coefficient r, and find the critical values of r from Table VI, Appendix A, p. A-14, of your textbook Elementary Statistics. Use α = 0.05. B) Is there sufficient evidence to conclude that there is a linear correlation between the proportion of wins and the above difference? Task 2: A classic application of correlation involves the association between temperature and the number of times a cricket chirps in a minute. Listed below are the numbers of chirps in 1 minute and the corresponding temperatures in °F: Chirps in 1 Min 882 1188 1104 864 1200 1032 960 900 Temperature (°F) 69.7 93.3 84.3 76.3 88.6 82.6 71.6 79.6 A) Construct a scatter plot, find the value of the linear correlation coefficient r, and find the critical values of r from Table VI, Appendix A, p. A-14, of your textbook Elementary Statistics. Use α = 0.05. B) Is there a linear correlation between the number......

Words: 539 - Pages: 3

Free Essay

Linear

...(in connection with the planning activities of the military), linear programming and its many extensions have come into wide use. In academic circles decision scientists (operations researchers and management scientists), as well as numerical analysts, mathematicians, and economists have written hundreds of books and an uncountable number of articles on the subject. Curiously, in spite of its wide applicability today to everyday problems, it was unknown prior to 1947. This is not quite correct; there were some isolated exceptions. Fourier (of Fourier series fame) in 1823 and the wellknown Belgian mathematician de la Vallée Poussin in 1911 each wrote a paper about it, but that was about it. Their work had as much influence on Post-1947 developments as would finding in an Egyptian tomb an electronic computer built in 3000 BC. Leonid Kantorovich’s remarkable 1939 monograph on the subject was also neglected for ideological reasons in the USSR. It was resurrected two decades later after the major developments had already taken place in the West. An excellent paper by Hitchcock in 1941 on the transportation problem was also overlooked until after others in the late 1940’s and early 1950’s had independently rediscovered its properties. What seems to characterize the pre-1947 era was lack of any interest in trying to optimize. T. Motzkin in his scholarly thesis written in 1936 cites only 42 papers on linear inequality systems, none of which mentioned an......

Words: 586 - Pages: 3